Sistema masa-resorte

El sistema masa-resorte es un sistema físico muy estudiando en mecánica debido a que tiene un comportamiento conocido como oscilador armónico. Este comportamiento se presenta de manera usual en sistemas eléctricos y electrónicos, aunque puede estar presente en cualquier otro tipo de sistema y es mas fácil visualizar en sistemas mecánicos como en un péndulo sin fricción (aunque éste último es un sistema no lineal).
Una forma de obtener el modelo del sistema masa-resorte es mediante el uso del modelo obtenido en masa-resorte-amortiguador. Sin intensión de minimizar el problema, pero si usando lo antes resuelto, podemos tomar el modelo del masa-resorte-amortiguador y anular la constante del amortiguador, es decir, hacer b = 0. De esta forma la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema masa-resorte es

m x'' + k x = u.

La solución de la ecuación diferencial del sistema masa-resorte, dependiendo de la entrada, está dada por la respectiva solución del sistema masa-resorte-amortiguador en el caso de polos complejos conjugados y haciendo b = 0. Observe que al hacer b = 0 se anula la disipación de energía haciendo que el sistema sea conservativo.

Observación: el modelo y las soluciones del oscilador horizontal también son válidas para el oscilador vertical.

Los siguientes videos son de útilidad.

Doble masa-resorte-amortiguador

Suponga que se tiene el sistema que se ilustra en la figura. Dicho sistema cuenta con un resorte k₁ que une a la pared con la primera masa y un segundo resorte que une a la primera masa con la segunda. Cada masa tiene una fricción del tipo viscosa dada por b₁ y b₂ y el peso de cada masa está dada por m₁ y m₂, respectivamente. El desplazamiento que tiene cada masa se denota por x₁ y x₂, siendo el cero la posición de reposo para cada masa.

Si la entrada del sistema es aplicada a la primera masa, tenemos que la ecuación diferencial que describe su comportamiento es



Observe que dicha ecuación depende del desplazamiento que tenga la segunda masa, ya que de eso depende la contracción o expansión del segundo resorte y por lo tanto su fuerza. Si la primera masa se mueve, es intuitivo suponer que la segunda masa también se moverá, es decir, también tendrá su propia ecuación diferencial, la cual es



La sumatoria de fuerzas se iguala a cero ya que no se tiene una fuerza externa o entrada como se supuso con la primera masa. Note que de igual forma, el desplazamiento de la segunda masa se verá afectada por la primera masa, ya que el segundo resorte acopla ambas masas.

La transformada de Laplace de ambas ecuaciones diferenciales considerando condiciones iniciales nulas está dada por



Despejando X₂ de la segunda ecuación y sustituyéndola en la primera, tenemos que la función de transferencia de la posición de la primera masa con respecto a la entrada es



donde


Por otra parte, la función de transferencia de la posición de la segunda masa con respecto a la entrada es



De esta forma tenemos dos funciones de transferencia, ya que contamos con dos salidas y una entrada.

Simulación: El código necesario para realizar una simulación de este sistema en Matlab se presenta en simulación de un masa-resorte-amortiguador doble.

Observación: No es correcto obtener el modelo de este sistema como si fueran dos sistemas conectados en serie, ya que el resorte de en medio acopla las dos masas. Este caso es algo muy parecido al sistema eléctrico RCRC.

Obtención del modelo y ecuaciones de estado para un sistema masa-resorte-amortiguador doble (diferente al previo).

 

El siguiente video muestra la animación del sistema mecánico masa-resorte-amortiguador doble.

Masa-resorte-amortiguador

Considere el sistema que se ilustra en la figura, el cual está constituido por una masa m que está unida a un resorte y a un amortiguador, los cuales tienen como coeficientes a k y b, respectivamente. La entrada es aplicada directamente a la masa en la dirección derecha y está denotada por u(t). La salida de interes es el desplazamiento que tiene la masa a partir del reposo y se denota por x(t). Tenemos que la ecuación diferencial que describe al sistema es
m x''(t) + b x'(t) + k x(t) = u(t), donde x''(t) es la aceleración de la masa y x'(t) es su velocidad.

• Dado que es un sistema de segundo orden, tendremos dos condiciones iniciales, la primera referente a la posición de la masa y la segunda a su velocidad; la notación empleada es x(0) y x'(0).
• Observe que la ecuación diferencial que describe al sistema masa-resorte-amortiguador puede ser comparada con la vista en la sección sistemas de segundo orden. Es fácil identificar que solamente han cambiado los nombres de las constantes, por lo que las respuestas serán las mismas que se han analizado anteriormente ante sus respectivas entradas (impulso: polos reales distintos, polos reales iguales, polos complejos conjugados; escalón: polos reales distintos, polos reales iguales, polos complejos conjugados; escalón desfasado, nula: polos reales iguales; pulso, senoidal, tren de pulsos, rampa, escalonada, etc.), pero con las nuevas constantes. 
• También se acostubra hablar del caso subamortiguado, críticamente amortiguado y sobreamortiguado.
• En el video se muestra la respuesta de este sistema ante una entrada escalón.
•  El código necesario para realizar una simulación y una pequeña animación de este sistema en Matlab se presenta en simulación y animacion de un masa resorte amortiguador.

Video donde se explica la respuesta al impulso. 

Programa que muestra las soluciones gráficas de la respuesta al impulso y que permite modificar los parámetros de manera amigable. 

Video donde se obtiene la respuesta al escalón.

En el siguiente video se muestra un caso particular del masa-resorte-amortiguador, cuando b=0, u=0 y las condiciones no son nulas.

En el siguiente video se muestra una animación del sistema masa-resorte.

Masa-amortiguador

Suponga que se tiene el sistema mecánico rectilíneo que se muestra en la figura, el cual está constituido por una masa m y un amortiguador cuyo coeficiente es b. La entrada es una fuerza que se aplica a la masa y la salida de interes es la velocidad de la masa. Tenemos que la fuerza de entrada tiene que ser igual a las fuerzas que se oponen a ella, es decir, la fuerza que ejerce el amortiguador y la masa, que expresado en términos matemáticos es
u(t) = m v'(t) + b v(t),
donde v(t) es la velocidad de la masa y v'(t) es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo (i.e. la aceleración). Se puede apreciar que la ecuación que modela a este sistema es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden, que al normalizarla obtenemos
v'(t) + b/m v(t) = 1/m u(t).
Compárese esta EDO con la definida en sistemas de primer orden. Si consideramos que la condición inicial es cero, es decir que la velocidad en el tiempo t=0 es cero, que es lo mismo que v(0) = 0 y aplicamos transformada de Laplace a la EDO, tenemos
sV(s)+b/m V(s) = 1/m U(s),que al factorizar y escribirlo como la relación V(s)/U(s) nos queda
V(s)/U(s) = m^-1/(s+b/m),lo cual corresponde a la función de transferencia del sistema masa-amortiguador. Observe la similitud que se tiene con la función de transferencia de un sistema de primer orden. Es fácil identificar que solamente han cambiado los nombres de las constantes, por lo que las respuestas serán las mismas que se han analizado anteriormente ante sus respectivas entradas (impulso, escalón, nula, pulso, senoidal, tren de pulsos y rampa), pero con las nuevas constantes.
Observación. No confunda la constante b que multiplica a la entrada con el parámetro b correspondiente al amoriguador.
Observación. No olvide que las unidades de la solución son metros por segundo (m/s) ya que la salida de interes es la velocidad.

Elementos mecánicos rectilíneos

Sea x,v,a el desplazamiento, la velocidad y la aceleración que tiene una masa o partícula, respectivamente, tenemos que la fuerza F aplicada a una masa, resorte y amortiguador está dada por
F = m a = m dv/dt = d²x/dt² (masa)
F = k x = k (x₁-x₂) (resorte)
F = b v = b dx/dt = b (v₁-v₂) (amortiguador)donde las constantes reales y positivas m, k, b corresponden a los parámetros propios de cada elemento (véase figura). Recordemos que v = dx/dt, a = dv/dt, es decir, que la velocidad es la derivada de la posición y que la aceleración es la derivada de la velocidad, por lo que, la aceleración es la segunda derivada de la posición.
Las unidades físicas en el sistema MKS están dadas por F [=] N [=] kg m/s², m [=] kg, b [=] kg/s, k [=] kg/s², x [=] m, v [=] m/s, a [=] m/s², donde N son Newtons, kg son kilogramos, m son metros y s son segundos.