Entrada nula: polos reales iguales

Si la entrada es nula, pero las condiciones iniciales no lo son, la función de transferencia no es del todo útil. Para esto debemos considerar que la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es
a2(s²Y(s) - y(0)s - y'(0)) + a1(sY(s) - y(0)) + a0Y(s) = 0.
Factorizando y despejando Y(s), obtenemos
Y(s) = (a2y(0)s + a2y'(0) + a1y(0)) / (a2s² + a1s + a0),
cuya transformada inversa de Laplace depende principalmente de los valores que tengan los coeficientes del denominador.
Para este caso, una forma de determinar la salida y(t) es descomponiendo Y(s) en fracciones parciales y posteriormente la transformada inversa de Laplace. Otra forma es separar Y(s) como sigue:
Y(s) = Y1(s) + Y2(s),donde
Y1(s) = a2y(0)s / (a2s² + a1s + a0)
Y2(s) = (a2y'(0) + a1y(0)) / (a2s² + a1s + a0).Por la propiedad de linealidad, tenemos que y(t) será la suma de las transformadas inversas de Y1(s) y Y2(s). Para resolver Y1(s) usaremos la propiedad de derivación, i.e. si Y1(s) = sY3(s), tenemos que y1(t) = y3'(t), donde y3(t) = a2y(0) / (a2s² + a1s +a0). Si el sistema tiene polos reales iguales, tenemos que
y1(t) = d/dt [y(0) t exp(-At)] = y(0)exp(-At) [1 - A t],
y2(t) = B t exp(-At),donde A = a1 / (2 a2) y B = (a2y'(0) + a1y(0)) / a2. Finalmente, la salida está dada por
y(t) = y1(t) + y2(t).En la figura se muestra la respuesta que tendría un sistema con polos reales iguales cuando la entrada es nula y las condiciones iniciales son no nulas, en particular se ilustra el caso en que y'(0) < y(0). En la figura la notación D equivale al post-símbolo prima.