Sistema electrónico con dos entradas

Considere el sistema electrónico que se muestra en la figura, el cual es representado en bloques. Supongamos que las entradas están dadas por u1 y u2, mientras que la salida es denotada por y.
Según el esquema, tenemos que
y'(t) = z(t) + u2(t)
z'(t) = u1(t) - a y(t).
Si derivamos la primera y sustituimos en ésta la segunda tenemos
y''(t) = z'(t) +u2'(t) = u1(t) - a y(t) + u2'(t).
Dado que tenemos dos entradas y una salida tendremos dos funciones de transferencia, la primera que relaciona únicamente la salida con la entrada u1 sin considerar la entrada u2. Para esto, se supone que u2(t) = 0, posteriomente se realiza lo mismo que para el caso de una entrada - una salida, así
Y(s)/U1(s) = 1/(s² + a).
Para la segunda función de transferencia, hacemos u1(t) = 0, obteniendo
Y(s)/U2(s) = s/(s² + a).
Si ambas entradas son distintas de cero, la salida estará dada por la suma de las salidas producidas por las entradas de manera independiente. A esta característica se le conoce como el principio de superposición y es válido para los sistemas lineales.
Observación: Dado que a es una constante real tenemos tres casos:
1) Si a = 0 tendremos dos polos en el origen.
2) Si a > 0 tendremos polos complejos conjugados sobre el eje imaginario.
3) Si a < 0 tendremos dos polos reales con signo distinto.

Sistema electrónico en serie

Considere el sistema electrónico que se muestra en la figura, el cual es representado en bloques. Supongamos que la entrada está dada por u y la salida por x2. Para determinar la función de transferencia tenemos, primeramente, que:
x1'(t) = u(t) - a x1(t). Por otra parte, tenemos que
x2'(t) = x1(t) - b x2(t).Si esta última la derivamos y sustituimos la primera, obtenemos
x2''(t) = x1'(t) - b x2'(t) = u(t) - a x1(t) - b x2'(t).Finalmente, de la segunda ecuación diferencial tenemos x1(t) = x2'(t) + b x2(t), que al sustituir en la ecuación anterior se tiene
x2''(t) = u(t) - a(x2'(t) + b x2(t)) - b x2'(t) = u(t) - (a+b)x2'(t) - ab x2(t). Entonces la ecuación diferencial que describe al sistema es
x2''(t) + (a+b)x2'(t) + ab x2(t) = u(t). La función de transferencia del sistema, considerando como entrada u(t) y salida x2(t) es
X2(s)/U(s) = 1/{s²+(a+b)s+ab}.Suponga ahora que la salida no es únicamente x2(t), sino además x1(t). Para este caso tendremos dos funciones de transferencia, la primera que relaciona X1 con la entrada y la segunda que relaciona X2 con la entrada. Entonces, tenemos que las funciones de transferencia son
X1(s)/U(s) = 1/{s+a}
X2(s)/U(s) = 1/{s²+(a+b)s+ab}.Observación: Si consideramos que X1(s)/U(s) = 1/{s+a} y que X2(s)/X1(s) = 1/{s+b}, al multiplicarlas obtenemos X2(s)/U(s) = 1/{s²+(a+b)s+ab}. Lo anterior es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes en tiempo que se encuentran conectados en serie. Se puede asociar la multiplicación de las funciones de transferencia como la convolución de las respuestas al impulso de los sistemas.
Observación: Dado que a y b son constantes reales, los polos de este sistema siempre serán reales distintos cuando a ≠ b o reales iguales si a = b, pero jamás podrán ser complejos conjugados.

Sistema electrónico

Considere el diagrama esquemático que se muestra en la figura siguiente.
Dicho diagrama está separado en bloques de elementos electrónicos básicos. Si la entrada es u y la salida es y, observe que a la entrada del amplificador integrador tenemos que y'(t) = b u(t) - a y(t), de aquí tenemos que la ecuación que describe este sistema esy'(t)+a y(t) = b u(t), donde a, b son constantes reales. Los valores de la resistencias son tales que a = R₄/R₃, b = R₂/R₁, RC = R₆/R₅.
Compárese esta EDO con la definida en sistemas de primer orden. Si consideramos que la condición inicial es cero, es decir la carga del capacitor en el integrador en el tiempo t=0 es cero, que es lo mismo que y(0) = 0 y aplicamos transformada de Laplace a la EDO, tenemos
sY(s)+a Y(s) = b U(s),que al factorizar y escribirlo como la relación Y(s)/U(s) nos queda
Y(s)/U(s) = b/(s+a),lo cual corresponde a la función de transferencia del sistema electrónico de primer orden de la figura. Observe la similitud que se tiene con la función de transferencia de un sistema de primer orden. Es fácil identificar que solamente han cambiado los nombres de las constantes, por lo que las respuestas serán las mismas que se han analizado anteriormente ante sus respectivas entradas (impulso, escalón, nula, pulso, senoidal, tren de pulsos y rampa), pero con las nuevas constantes.

Elementos electrónicos

Los elementos electrónicos que empleremos serán en base al amplificador operacional en las siguientes configuraciones: amplificador inversor, amplificador restador y amplificador integrador. En la figura se ilustra el diagrama esquemático del amplificador inversor (a), restador (b) e integrador (c), en el cual, sin entrar en detalles, tenemos quey = -R₂/R₁ x (coeficiente),
z = y - x (restador),
y = -1/(RC) ∫x(τ) dτ (integrador),
respectivamente. Note que con estas tres configuraciones es posible construir cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes.
Observación: Para que la configuración del amplificador restador funcione como tal, asegúrese de que los valores de las resistencias sean iguales. La frecuencia de corte del amplificador integrador está dada por f_c = 1/(2πRC).
Observación: Aquí están las hojas de especificaciones de dos amplificadores operacionales muy comunes: TL084 y LM741. También les dejo esta liga de la wikipedia para otra información y configuraciones del amplificador operacional, pero no olviden consultar también los libros.