Simulación de un masa-resorte-amortiguador doble

En Matlab ejecute la siguiente instrucción:

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>> mra2_ini

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Los siguientes archivos están en la carpeta en donde se ejecutó la instrucción arriba mencionada.

mra2_ini.m

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%  Programa principal que grafica la posicion y velocidad de un sistema 

%  mecanico masa-resorte-amortiguador de 2gdl mediante la instruccion ode45. 

%  Requisitos: mra2.m

%  Realizo: Ricardo Cuesta
%  Fecha: 23/sep/13
%  Version: 0.1
clc; clear; clf;            % limpia pantalla, variables y figura

t = linspace(0,10,1000);    % tiempo de simulacion
x0 = [0;0;0;0];                 % condiciones iniciales

[t,x] = ode45(@mra2,t,x0);   % solucion de la EDO
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,x(:,1))              % grafica posicion de la primera masa
legend('posicion masa 1')

subplot(2,1,2)
plot(t,x(:,3))              % grafica posicion de la segunda masa
legend('posicion masa 2')

mra2.m

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%  Programa que contiene las ecuaciones de estado de un sistema

%  masa-resorte-amortiguador de 2gdl.

%  Los parametros se pueden modificar.

%  La entrada es un escalon, pero es posible modificarla.

%  No cambiar el nombre de la variables.

%  Realizo: Ricardo Cuesta
%  Fecha: 23/sep/13
%  Version: 0.1
function xp = mra2(t,x)

m1 = 1;      % masa 1
b1 = 0.75;   % amortiguador 1
k1 = 10;     % resorte 1
m2 = 1;      % masa 2
b2 = 0.75;   % amortiguador 2
k2 = 10;     % resorte 2
u = 1;      % entrada: escalon

xp(1,:) = x(2);
xp(2,:) = (u-b1*x(2)-k1*x(1)-k2*(x(1)-x(3)))/m1;
xp(3,:) = x(3);
xp(4,:) = (-b2*x(4)-k2*(x(3)-x(1)))/m2;

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En este caso se consideró que x(1) es la posición de la primera masa, x(2) su velocidad; x(3) la posición de la segunda masa y su respectiva velocidad es x(4).

El siguiente video es útil para realizar las animaciones de sistemas mecánicos.

 

El siguiente video muestra una forma de realizar la animación del sistema mecánico masa-resorte-amortiguador doble.

 

El siguiente video muestra cómo realizar la simulación de un sistema masa-resorte-amortiguador doble usando Simulink.

El siguiente video muestra cómo obtener el modelo y las ecuaciones de estado del sistema mecánico masa-resorte-amortiguador doble.

Doble masa-resorte-amortiguador

Suponga que se tiene el sistema que se ilustra en la figura. Dicho sistema cuenta con un resorte k₁ que une a la pared con la primera masa y un segundo resorte que une a la primera masa con la segunda. Cada masa tiene una fricción del tipo viscosa dada por b₁ y b₂ y el peso de cada masa está dada por m₁ y m₂, respectivamente. El desplazamiento que tiene cada masa se denota por x₁ y x₂, siendo el cero la posición de reposo para cada masa.

Si la entrada del sistema es aplicada a la primera masa, tenemos que la ecuación diferencial que describe su comportamiento es



Observe que dicha ecuación depende del desplazamiento que tenga la segunda masa, ya que de eso depende la contracción o expansión del segundo resorte y por lo tanto su fuerza. Si la primera masa se mueve, es intuitivo suponer que la segunda masa también se moverá, es decir, también tendrá su propia ecuación diferencial, la cual es



La sumatoria de fuerzas se iguala a cero ya que no se tiene una fuerza externa o entrada como se supuso con la primera masa. Note que de igual forma, el desplazamiento de la segunda masa se verá afectada por la primera masa, ya que el segundo resorte acopla ambas masas.

La transformada de Laplace de ambas ecuaciones diferenciales considerando condiciones iniciales nulas está dada por



Despejando X₂ de la segunda ecuación y sustituyéndola en la primera, tenemos que la función de transferencia de la posición de la primera masa con respecto a la entrada es



donde


Por otra parte, la función de transferencia de la posición de la segunda masa con respecto a la entrada es



De esta forma tenemos dos funciones de transferencia, ya que contamos con dos salidas y una entrada.

Simulación: El código necesario para realizar una simulación de este sistema en Matlab se presenta en simulación de un masa-resorte-amortiguador doble.

Observación: No es correcto obtener el modelo de este sistema como si fueran dos sistemas conectados en serie, ya que el resorte de en medio acopla las dos masas. Este caso es algo muy parecido al sistema eléctrico RCRC.

Obtención del modelo y ecuaciones de estado para un sistema masa-resorte-amortiguador doble (diferente al previo).

 

El siguiente video muestra la animación del sistema mecánico masa-resorte-amortiguador doble.