Romeo y Julieta

Suponga que en cualquier tiempo t podemos medir el amor u odio que siente Romeo hacia Julieta r(t) y el amor u odio que Julieta siente por Romeo j(t). Los valores positivos de estas funciones indican amor y valores negativos, odio. De manera simple, supongamos que el cambio del amor de Romeo por Julieta es una fracción del amor que tiene hacia ella mas un fracción del amor que tiene ella hacia él. De manera similar, el cambio del amor de Julieta por Romeo es una fracción del amor que siente por Romeo más una fracción del amor que siente Romeo por ella. Estas suposiciones generan las siguientes ecuaciones:
r'(t) = a r(t) + b j(t),
j'(t) = c r(t) + d j(t),
donde a, b, c, d son parámetros con valores numéricos.
Nota: El modelo aquí mostrado se obtuvo del libro "The Mathematics of Marriage" de Gottan, Murray, Swanson, Tyson y Swanson, Ed: MIT, 2002, páginas 111-114.

Vamos a suponer el caso en que a = d = 0, esto es, que el cambio del amor de Romeo por Julieta sólo depende del amor que ella le tiene a él y que el cambio que sufre el amor de Julieta por Romeo sólo depende del amor que él le tiene a ella.
Sin entrar en debates sexistas, supongamos que b = 1 y c = -1, lo que significa que el amor de Romeo por Julieta se incrementará tanto como Julieta lo ame, pero el amor de Julieta sólo se incrementará si el amor de Romeo hacia ella decrece. De esta forma tenemos que si derivamos la primera ecuación y sustituimos la segunda en ésta tenemos que
r''(t) = b j'(t) = b c r(t) = -r(t).La transformada de Laplace de la ecuación anterior es
s²R(s) - s r(0) - r'(0) = -R(s),
por lo que
R(s) = (s r(0) + r'(0)) / (s²+1).Nuevamente, sin entrar en debates, supongamos que Romeo fué el primero en sentir algo por Julieta, algo así como amor a primera vista, en este caso r(0) ≠ 0. Por otra parte, Julieta al no saber de Romeo no podia sentir ni odio ni amor, i.e. j(0) = 0. Observe que de la primera ecuación y con nuestros parámetros, tenemos que r'(t) = j(t), por lo que j(0) = r'(0) = 0. Con esto tenemos las dos condiciones iniciales que necesitamos. Reescribiendo, tenemos queR(s) = s r(0) / (s²+1).De esta forma tenemos que la solución es
r(t) = r(0) cos (t).Nuevamente, según la primera ecuación y nuestros parámetros, tenemos que r'(t) = j(t), es decir
j(t) = -r(0) sen(t).En la figura se muestra el campo vectorial del par de ecuaciones descritas al comienzo y la solución encontrada a partir de las condiciones iniciales dadas. Se puede apreciar la oscilación de los sentimientos que se tienen entre ellos, algo así como: los dos andan muy bien (cuadrante I), Julieta ya está molesta con Romeo (cuadrante IV), los dos están molestos (cuadrante III), ahora Romeo es el que está molesto con Julieta (cuadrante II) y se repite. Les suena familiar?
Observación: Hubiera tenido tanto éxito la obra de Shakespeare si los personajes se hubieran comportado como aquí se describió? Qué parámetros serían necesarios para que la situación se diera como en la obra?

Entrada nula: polos reales iguales

Si la entrada es nula, pero las condiciones iniciales no lo son, la función de transferencia no es del todo útil. Para esto debemos considerar que la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es
a2(s²Y(s) - y(0)s - y'(0)) + a1(sY(s) - y(0)) + a0Y(s) = 0.
Factorizando y despejando Y(s), obtenemos
Y(s) = (a2y(0)s + a2y'(0) + a1y(0)) / (a2s² + a1s + a0),
cuya transformada inversa de Laplace depende principalmente de los valores que tengan los coeficientes del denominador.
Para este caso, una forma de determinar la salida y(t) es descomponiendo Y(s) en fracciones parciales y posteriormente la transformada inversa de Laplace. Otra forma es separar Y(s) como sigue:
Y(s) = Y1(s) + Y2(s),donde
Y1(s) = a2y(0)s / (a2s² + a1s + a0)
Y2(s) = (a2y'(0) + a1y(0)) / (a2s² + a1s + a0).Por la propiedad de linealidad, tenemos que y(t) será la suma de las transformadas inversas de Y1(s) y Y2(s). Para resolver Y1(s) usaremos la propiedad de derivación, i.e. si Y1(s) = sY3(s), tenemos que y1(t) = y3'(t), donde y3(t) = a2y(0) / (a2s² + a1s +a0). Si el sistema tiene polos reales iguales, tenemos que
y1(t) = d/dt [y(0) t exp(-At)] = y(0)exp(-At) [1 - A t],
y2(t) = B t exp(-At),donde A = a1 / (2 a2) y B = (a2y'(0) + a1y(0)) / a2. Finalmente, la salida está dada por
y(t) = y1(t) + y2(t).En la figura se muestra la respuesta que tendría un sistema con polos reales iguales cuando la entrada es nula y las condiciones iniciales son no nulas, en particular se ilustra el caso en que y'(0) < y(0). En la figura la notación D equivale al post-símbolo prima.

Entrada nula, condición inicial no nula

Si la entrada del sistema es nula u(t)=0 y la condición inicial también es cero y(0)=0, tenemos que la transformada de Laplace de la salida es Y(s)=G(s)•0, donde G(s) es la función de transferencia de un sistema de primer orden. De esta forma la salida en tiempo será y(t)=0 para toda t, lo cual constituye la respuesta trivial de la ecuación diferencial de primer orden (y de cualquier orden en la forma de coeficientes constantes).
La situación cambia si se considera la misma entrada nula, pero la condición inicial sea distinta de cero y(0)≠0. Llamemos a este valor y₀, i.e. y(0)=y₀.
Para resolver este caso no será útil la función de transferencia, en este caso recordemos la ecuación diferencial de primer orden
y'(t)+a y(t)=b u(t),cuya transformada de Laplace es
[sY(s)-y(0)]+a Y(s) = b U(s).Dado que u(t)=0, y(0)=y₀, tenemos que
Y(s)=y₀/(s+a).Finalmente, al aplicar la transformada inversa de Laplace
y(t)=y₀ exp(-a t),la cual es la respuesta en tiempo que buscabamos.
Observación: Si conoce una salida en particular y(t) y la entrada u(t) que la produjo, puede, a partir de obtener sus transformadas de Laplace, determinar la función de transferencia del sistema. Esto es de suma importancia, ya que no se pide una entrada en particular y su respectiva salida, sino cualquiera. En otras palabras, con cualquier par entrada-salida (u,y) que se tenga es posible determinar la función de transferencia del sistema. La única restricción que se pide a (u,y) es que las condiciones iniciales sean nulas. En este apartado es claro que no se pueden ocupar la entrada y salida calculadas, ya que Y(s)/U(s) no es una función de transferencia dado que U(s)=0.