Impulso: polos complejos conjugados

Si la función de transferencia es de segundo orden y los coeficientes satisfacen que a₁²-4a₂a₀ < 0, tendremos que los polos serán complejos y de manera conjugada (a este caso también se le conoce como subamortiguado). De esta forma tenemos que la función de transferencia se puede escribir como

Y(s)/U(s) =1/a₂ 1/{(s-a)²+b²}, donde a y b son la parte real e imaginaria, respectivamente, de los polos de la función de transferencia.
Si la entrada es un impulso, es decir, u(t)=δ(t), tenemos que la transformada del impulso es U(s)=1, de esta forma la transformada de la salida es
Y(s) =1/a₂1/{(s-a)²+b²}, la cual es más simple de antitransformar. Así, aplicando la propiedad de desplazamiento en la variable compleja, tenemos que la salida es
y(t) = 1/(a₂ b) exp(at) sen(bt)1(t). La respuesta se muestra de manera gráfica en la figura.

Impulso: polos reales iguales

Si la función de transferencia es de segundo orden y los coeficientes satisfacen que a₁²-4a₂a₀ = 0, tendremos que los polos serán reales y además iguales. De esta forma tenemos que la función de transferencia se puede escribir como
Y(s)/U(s) = 1/(s-p₁)², donde p₁ son los polos de la función de transferencia.
Si la entrada es un impulso, es decir, u(t)=δ(t), tenemos que la transformada del impulso es U(s)=1, de esta forma la transformada de la salida es
Y(s) = 1/(s-p₁)². Así, al obtener su transformada inversa de Laplace, tenemos que la salida es
y(t) = t exp(p₁t)1(t). La respuesta se muestra de manera gráfica en la figura.

Impulso: polos reales distintos

Si la función de transferencia es de segundo orden y los coeficientes satisfacen que a₁²-4a₂a₀ > 0, tendremos que los polos serán reales y además distintos. De esta forma tenemos que la función de transferencia se puede escribir como
Y(s)/U(s) = 1/{(s-p₁)(s-p₂)}, donde p₁ y p₂ son los polos de la función de transferencia.
Si la entrada es un impulso, es decir, u(t)=δ(t), tenemos que la transformada del impulso es U(s)=1, de esta forma la transformada de la salida es
Y(s) = 1/{(s-p₁)(s-p₂)}. La expresión anterior puede ser escrita como
Y(s) = 1/(p₂-p₁) 1/(s-p₂)-1/(p₂-p₁) 1/(s-p₁), la cual es más simple de antitransformar. Así, tenemos que la salida es
y(t) = {1/(p₂-p₁)exp(p₂t)-1/(p₂-p₁)exp(p₁t)}1(t). La respuesta se muestra de manera gráfica en la figura.

Respuesta al impulso: detalles

La respuesta al impulso de un sistema de primer orden tiene un valor máximo b cuando el tiempo es cero t = 0. Después la amplitud disminuye hasta llegar a cero en un tiempo infinito. A continuación se muestra una tabla que indica el tiempo necesario para que la amplitud disminuya un porciento de b. Por otro lado se muestra la diminución de la amplitud dado un tiempo en función de la constante de tiempo (1/a). En la figura, el eje horizontal corresponde al tiempo indicado en unidades de la constante de tiempo y el eje vertical indica el porcentaje con respecto al valor máximo.

Porcentaje	Amplitud	Tiempo	Tiempo	Amplitud	Porcentaje
100%	b	0	0	b	100%
90%	0.9b	0.10/a	1/a	0.36b	36%
80%	0.8b	0.22/a	2/a	0.13b	13%
70%	0.7b	0.35/a	3/a	0.049b	4.9%
60%	0.6b	0.51/a	4/a	0.018b	1.8%
50%	0.5b	0.69/a	5/a	6.7E-3b	6.7E-1%
40%	0.4b	0.91/a	6/a	2.47E-3b	2.47E-1%
30%	0.3b	1.20/a	7/a	9.11E-4b	9.11E-2%
20%	0.2b	1.60/a	8/a	3.35E-4b	3.35E-2%
10%	0.1b	2.30/a	9/a	1.2E-4b	1.2E-2%
0%	0	∞	10/a	4.5E-5b	4.5E-3%

Respuesta al impulso

Recordemos que el sistema de primer orden tiene como función de transferencia

Y(s)/U(s)=b/(s+a),

con a, b constantes reales.
Si definimos H(s)=b/(s+a), tenemos que la transformada de la salida será, gracias a un simple despeje

Y(s)=H(s) U(s).

Por otra parte, tenemos que la transformada de Laplace de la señal impulso es la unidad, i.e. U(s)=L{u(t)}=L{δ(t)}=1. Que al sustituir en la ecuación anterior obtenemos

Y(s)=H(s).

Finalmente, para determinar la respuesta en tiempo del sistema cuando la entrada es un impulso es, aplicar la transformada inversa de Laplace y así recuperar y(t), lo cual es

y(t)=b exp(-a t)1(t) ,

donde 1(t) es la señal escalón unitario.
Se puede apreciar que si el parámetro a es positivo, entonces la salida estará acotada entre cero y b, por otra parte, si a es cero, la salida será una constante igual al valor de b y finalmente, si a es negativo la solución no estará acotada cuando el tiempo t se incremente (véase figura).
Observación: Dado que para este caso Y(s)=H(s), se obtiene h(t), que por notación, es empleada en muchos libros como la respuesta al impulso del sistema. Particularmente en el área de Señales y Sistemas, está señal es la utilizada para determinar la salida del sistema y(t) ante cualquier entrada u(t) usando la integral de convolución y(t)=h(t)*u(t).

En el siguiente video se muestra como ejemplo la respuesta al impulso de un circuito RC.