Sistema rotacional con transmisión

Considere el sistema rotacional que se muestra en la figura, donde J es la inercia del disco y b el coeficiente de fricción que tiene la flecha. El par aplicado τ en la flecha de entrada es transformado por un par de engranes acoplados por medio de una banda dentada. El número de dientes del primer engrane se denota por n1, mientras que para el segundo es n2. El par, la posición y el número de dientes de los engranes guardan la siguiente relación:
n1/n2 = q2/q1 = τ1/τ2,
donde q1, q2 son las posiciones angulares de las flechas y τ1, τ2 son los pares generados por las flechas de entrada y salida, respectivamente.
Entonces, la ecuación diferencial que describe al sistema es
J q''(t) + b q'(t) = τ2 = n2/n1 τ.La función de transferencia del sistema, considerando como entrada el par aplicado a la primer flecha τ y como salida la posición angular de la segunda flecha, es
Q2(s)/T(s) = n/[s(Js+b)],donde n = n2/n1.
Observación: Este sistema siempre tendrá polos reales distintos: uno en el origen y el otro en -b/J. Si se considera que el sistema no tiene fricción (b = 0), el sistema tendrá dos polos en el origen. No existen coeficientes para este sistema tales que los polos sean complejos conjugados.

Sistema rotacional con amortiguador

Suponga que se tiene el sistema mecánico rotacional que se muestra en la figura, el cual está constituido por una carga inercial J y un amortiguador cuyo coeficiente es b. La entrada es un par que se aplica al eje y la salida de interes es la velocidad de la flecha o eje. Tenemos que el par-fuerza de entrada tiene que ser igual a los par-fuerzas que se oponen a ella, es decir, el par-fuerza que ejerce el amortiguador y la carga, que expresado en términos matemáticos es
τ(t) = J ω'(t) + b ω(t), donde ω(t) es la velocidad angular de la masa y ω'(t) es la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo (i.e. la aceleración angular). Se puede apreciar que la ecuación que modela a este sistema es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden, que al normalizarla obtenemos
ω'(t) + b/J ω(t) = 1/J τ(t). Compárese esta EDO con la definida en sistemas de primer orden. Si consideramos que la condición inicial es cero, es decir que la velocidad angular en el tiempo t=0 es cero, que es lo mismo que ω(0) = 0 y aplicamos transformada de Laplace a la EDO, tenemos
sΩ(s)+b/J Ω(s) = 1/J Τ(s), que al factorizar y escribirlo como la relación Ω(s)/Τ(s) nos queda
Ω(s)/Τ(s) = J ^-1/(s+b/J), lo cual corresponde a la función de transferencia del sistema rotacional con amortiguador. Observe la similitud que se tiene con la función de transferencia de un sistema de primer orden. Es fácil identificar que solamente han cambiado los nombres de las constantes, por lo que las respuestas serán las mismas que se han analizado anteriormente ante sus respectivas entradas (impulso, escalón, nula, pulso, senoidal, tren de pulsos y rampa), pero con las nuevas constantes.
Observación. No confunda la constante b que multiplica a la entrada con el parámetro b correspondiente al amoriguador.
Observación. No olvide que las unidades de la solución son radianes por segundo (rad/s) ya que la salida de interes es la velocidad angular.

Elementos mecánicos rotacionales

Sea θ, ω, α el desplazamiento, la velocidad y la aceleración angular que tiene una carga o partícula, respectivamente, tenemos que el par o torque T aplicado a una carga inercial, resorte rotacional y amortiguador rotacional está dada por
T = J α = J dω/dt = d²θ/dt² (carga inercial)
T = k θ = k (θ₁-θ₂) (resorte)
T = b v = b dθ/dt = b (ω₁-ω₂) (amortiguador)
donde las constantes reales y positivas J, k, b corresponden a los parámetros propios de cada elemento (véase figura). Recordemos que ω = dθ/dt, α = dω/dt, es decir, que la velocidad angular es la derivada de la posición angular y que la aceleración angular es la derivada de la velocidad angular, por lo que, la aceleración ngular es la segunda derivada de la posición angular.
Las unidades físicas en el sistema MKS están dadas por
T [=] Nm [=] kg m²/s², J [=] kg m²/rad, b [=] kg m²/rad/s, k [=] kg m²/rad/
s², θ [=] rad, ω [=] rad/s, α [=] rad/s²,donde N son Newtons, kg son kilogramos, m son metros, rad son radianes y s son segundos.