Entrada nula, condición inicial no nula

Si la entrada del sistema es nula u(t)=0 y la condición inicial también es cero y(0)=0, tenemos que la transformada de Laplace de la salida es Y(s)=G(s)•0, donde G(s) es la función de transferencia de un sistema de primer orden. De esta forma la salida en tiempo será y(t)=0 para toda t, lo cual constituye la respuesta trivial de la ecuación diferencial de primer orden (y de cualquier orden en la forma de coeficientes constantes).
La situación cambia si se considera la misma entrada nula, pero la condición inicial sea distinta de cero y(0)≠0. Llamemos a este valor y₀, i.e. y(0)=y₀.
Para resolver este caso no será útil la función de transferencia, en este caso recordemos la ecuación diferencial de primer orden
y'(t)+a y(t)=b u(t),cuya transformada de Laplace es
[sY(s)-y(0)]+a Y(s) = b U(s).Dado que u(t)=0, y(0)=y₀, tenemos que
Y(s)=y₀/(s+a).Finalmente, al aplicar la transformada inversa de Laplace
y(t)=y₀ exp(-a t),la cual es la respuesta en tiempo que buscabamos.
Observación: Si conoce una salida en particular y(t) y la entrada u(t) que la produjo, puede, a partir de obtener sus transformadas de Laplace, determinar la función de transferencia del sistema. Esto es de suma importancia, ya que no se pide una entrada en particular y su respectiva salida, sino cualquiera. En otras palabras, con cualquier par entrada-salida (u,y) que se tenga es posible determinar la función de transferencia del sistema. La única restricción que se pide a (u,y) es que las condiciones iniciales sean nulas. En este apartado es claro que no se pueden ocupar la entrada y salida calculadas, ya que Y(s)/U(s) no es una función de transferencia dado que U(s)=0.