Respuesta a una senoidal

Considere que se tiene como entrada una señal dada por u(t)=sen wt, con w una constante real positiva. La transformada de Laplace de ésta señal es U(s)=w/(s²+w²) de esta forma tenemos que la transformada de la salida es Y(s)=H(s)U(s), donde H(s) es la función de transferencia de un sistema de primer orden. Expresado a detalle, tenemos
Y(s)=bw/[(s+a)(s²+w²)]. Lo anterior puede ser expresado como
Y(s) = P/(s+a)+(Qs+R)/(s²+w²) = P/(s+a)+Qs/(s²+w²)+R/(s²+w²), donde P=bw/(w²+a²), Q=-P y R=aP. Aplicando transformada inversa de Laplace tenemos que la salida está dada por
y(t) = P [exp(-a t) - cos wt + a/w sen wt ] 1(t). En la primera figura se muestra la solución y(t) en color naranja, mientras que en color verde se muestra la función y_e(t) = P exp(-a t). Se puede apreciar que la función periódica se monta sobre y_e(t).
Observación: Usando la identidad trigonométrica sen(x+y) = sen x cos y+cos x sen b, tenemos que
P(- cos wt + a/w sen wt) = B sen(w t+φ) donde B=b/√(w²+a²) y φ = atan(-w/a). En la segunda figura se muestra la entrada en color verde (considere que A = 1) y la salida en color naranja cuando el tiempo es suficientemente grande, por eso se puede despreciar el término P exp(-a t). En la figura se muestra un tiempo en particular t =t^*, el cual es cuando la entrada cruza el eje horizontal, es decir, u(t^*)=0 y el tiempo t =t^*+φ, el cual es cuando la salida cruza el eje horizontal, es decir, y(t^*+φ)=0. Se puede apreciar que la amplitud y la fase de la salida dependen de la frecuencia, pero la salida tendrá la misma frecuencia que la entrada.

Ejemplo de un circuito RC con entrada senoidal