Sistema electrónico en serie

Considere el sistema electrónico que se muestra en la figura, el cual es representado en bloques. Supongamos que la entrada está dada por u y la salida por x2. Para determinar la función de transferencia tenemos, primeramente, que:
x1'(t) = u(t) - a x1(t). Por otra parte, tenemos que
x2'(t) = x1(t) - b x2(t).Si esta última la derivamos y sustituimos la primera, obtenemos
x2''(t) = x1'(t) - b x2'(t) = u(t) - a x1(t) - b x2'(t).Finalmente, de la segunda ecuación diferencial tenemos x1(t) = x2'(t) + b x2(t), que al sustituir en la ecuación anterior se tiene
x2''(t) = u(t) - a(x2'(t) + b x2(t)) - b x2'(t) = u(t) - (a+b)x2'(t) - ab x2(t). Entonces la ecuación diferencial que describe al sistema es
x2''(t) + (a+b)x2'(t) + ab x2(t) = u(t). La función de transferencia del sistema, considerando como entrada u(t) y salida x2(t) es
X2(s)/U(s) = 1/{s²+(a+b)s+ab}.Suponga ahora que la salida no es únicamente x2(t), sino además x1(t). Para este caso tendremos dos funciones de transferencia, la primera que relaciona X1 con la entrada y la segunda que relaciona X2 con la entrada. Entonces, tenemos que las funciones de transferencia son
X1(s)/U(s) = 1/{s+a}
X2(s)/U(s) = 1/{s²+(a+b)s+ab}.Observación: Si consideramos que X1(s)/U(s) = 1/{s+a} y que X2(s)/X1(s) = 1/{s+b}, al multiplicarlas obtenemos X2(s)/U(s) = 1/{s²+(a+b)s+ab}. Lo anterior es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes en tiempo que se encuentran conectados en serie. Se puede asociar la multiplicación de las funciones de transferencia como la convolución de las respuestas al impulso de los sistemas.
Observación: Dado que a y b son constantes reales, los polos de este sistema siempre serán reales distintos cuando a ≠ b o reales iguales si a = b, pero jamás podrán ser complejos conjugados.