Considere la siguiente ecuación diferencial
y'(t) + a y(t) = u(t),la cual puede ser vista como la representación matemática de un sistema de primer orden.
Si la entrada es nula, es decir,
u(t) = 0, tenemos que la derivada de la solución está dada por
y'(t) = -a y(t).Una forma de visualizar de manera gráfica esta igualdad es tomando un punto del plano T-Y (tiempo-salida) y sustituirlo en la parte derecha de la igual; con esto sabremos la pendiente (de la recta tangente) que tendrá la solución en dicho punto y se grafica un pequeño segmento de dicha recta. Si
a es positivo y
y también lo es, tenemos que la pendiente será negativa, por otra parte, si
y es negativa la pendiente será positiva y esta se incrementará mientras mas alejado se esté del eje horizontal (véase la primera figura). Es usual que en lugar del segmento de recta se grafique un vector con la finalidad de indicar el flujo de la solución y a este conjunto de vectores es lo que llamaremos campo vectorial.
Si
u(t) = A sen (wt), obtenemos la segunda figura, en la cual se muestra el campo vectorial en color verde, mientras que en negro, azul y naranja se muestran algunos casos de la solución del sistema de primer orden ante una entrada senoidal con diferentes condiciones iniciales.
Observación: Las trayectorias, sin importar donde comienzen, converjen a la respuesta en estado estable.
Considere la siguiente ecuación diferencial
Observación: Las trayectorias, sin importar donde comienzen, converjen a la respuesta en estado estable.
Interesante...
ResponderEliminarEsto que se muestra en la última figura ilustra la propiedad de aditividad de los SLIT.
Considerando que la respuesta bajo condiciones iniciales distintas de cero y sin entrada es una exponencial que tiende a cero, y que la respuesta ante una entrada determinada es una función ya conocida, solo es necesario hacer la suma de dichas respuestas y se obtiene la respuesta que hubiese provocado ambas condiciones (CI diferente de cero y entrada diferente de cero).
En este caso una exponencial decreciente (debida a la condición inicial) y un seno desfasado de la misma frecuencia que el de entrada con una amplitud en función de la frecuencia (debido a la entrada).
Quizás no le he buscado mucho, pero no veo todavía la demostración de aditividad para los SLITs utilizando la transformada de Fourier de una señal, aquella que se refería a que la respuesta de una señal es igual a la suma de las respuestas que producen sus componentes en frecuencia.