sábado, 14 de marzo de 2009

Entrada tren de pulsos

Considere que la entrada del sistema es un tren de pulsos, cuya serie de Fourier está dada por
u(t) = 4/π ∑ an sen[(2n+1)t] 1(t),
donde la sumatoria tiene como índice el contador n y éste va de cero a infinito, el coefiente está dado por an = 1/(2n-1) (véase gráfica en color verde en la figura). Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace tenemos que la transformada de la entrada es
U(s) = 4/π ∑ an wn / (s2+wn2),
donde wn = 2n+1. Entonces, la transformada de Laplace de la salida es
Y(s) = H(s)U(s),
donde H(s) es la función de transferencia del sistema. De forma más detallada y usando propiedades de la sumatoria, tenemos
Y(s) = 4/π ∑ an wn b / [(s2+wn2)(s+a)].
De la misma forma que se hizo anteriormente, se empleará la propiedad de linealidad pero para la transformada inversa de Laplace y se utiliza el resultado obtenido de la respuesta ante una senoidal. De esta manera tenemos que la salida es
y(t) = 4/π ∑ [anwnb/(a2+wn2)exp(-at) + anb/√(a2+wn2)sen(wnt+φn)]1(t),
con φn=atan(-wn/a) y la sumatoria tiene como índice el contador n y éste va de cero a infinito. En la figura se ilustra la salida del sistema cuando la constante de tiempo es a = 2 (gráfica en color naranja) y cuando a = 0.4 (gráfica en color cian); en ambos casos se considera que b = 1.

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