Linealidad

Aditividad

Sean φ:U→Y la regla de asociación de un sistema entrada-salida y (u_i,y_i) con i=1,2 cualquier par de elementos de esa relación. Decimos que el sistema es aditivo si φ lo es. En otras palabras, el sistema es aditivo si
y₁+y₂ = φ(u₁+u₂).

Homegeneidad

Sean φ:U→Y la regla de asociación de un sistema entrada-salida, (u,y) cualquier elemento de esa relación y k una constante real. Decimos que el sistema es homogeneo si φ lo es. En otras palabras, el sistema es homogeneo si
k y = φ(k u₁), para toda k.

Linealidad

Un sistema se dice que es lineal si y sólo si éste cumple con las propiedades de homogeneidad y aditividad.

Ejemplo

Sea el sistema dado por y(t)=u(t), es decir, la salida será idéntica a la entrada. Si elegimos un par de entradas y sus respectivas salidas (u₁,y₁),(u₂,y₂) y dado que y=φ(u)=u tenemos que φ(u₁+u₂)=φ(u₁)+φ(u₂)=y₁+y₂, por lo que este sistema es aditivo. Ahora, para cualquier constante real se tiene que φ(k u)=kφ(u)=k y, por lo que el sistema es homogeneo. Por lo tanto el sistema es lineal.

Ejemplo

Considere ahora que se tiene el sistema descrito por y(t)=u(t)+c, con c una constante real diferente de cero. Si elegimos un par de entradas y sus respectivas salidas (u₁,y₁),(u₂,y₂) y dado que y=φ(u)=u+c tenemos que φ(u₁+u₂)=u₁+u₂+c\neqφ(u₁)+φ(u₂)=y₁+y₂=u₁+u₂+2c, por lo que este sistema no es aditivo. Ahora, para cualquier constante real se tiene que φ(k u)=ku+c\neq kφ(u)=k u+kc = ky, por lo que el sistema no es homogeneo. Con al menos una de las dos propiedades que no se cumpla es suficiente para concluir que el sistema no es lineal. Note que el único caso para que el sistema sea lineal es que c=0 (véase ejemplo anterior).