Función de transferencia: segundo orden

Recordemos que un sistema dinámico de segundo orden puede ser representado por una ecuación diferencial, también de segundo orden, de coeficientes constantes.
La transformada de Laplace (unilateral) de esta ecuación diferencial es
a₂[s²Y(s)-y(0)s-y'(0)] + a₁[sY(s)-y(0)] + a₀Y(s) = b₀U(s) donde Y(s) y U(s) son la transformada de Laplace de la salida y la entrada, respectivamente. Las condiciones iniciales están dadas por y(0) y y'(0) y si éstas son nulas tenemos

a₂s²Y(s) + a₁sY(s) + a₀Y(s) = b₀U(s),

y que al agrupar y sacar la relación salida-entrada obtenemos que la función de transferencia del sistema de segundo orden es
Y(s)/U(s) = b₀/(a₂ s² + a₁ s + a₀). Dado que el denominador de la función de transferencia es un polinomio de s de segundo orden tendremos que sus raíces (o polos) serán uno de los siguientes casos:

1. Reales distintas (sobreamortiguada).
2. Reales iguales (críticamente amortiguada).
3. Complejas conjugadas (subamortiguada).

Esto dependerá directamente de los coeficientes del polinomio y en particular del signo de a₁²-4a₂a₀. Si es positivo se tendrá el primer caso; si es cero se tendrá el segundo caso y finalmente, si es negativo se tendrá el tercer caso.