Pelota

Considere que se tiene una pelota y que ésta se deja caer desde una altura h.
Usando la segunda ley de Newton tenemos que

F = m g = m x'',

donde m es la masa de la pelota, x es el desplazamiento de la pelota y g es la aceleración de la gravedad, la cual, en el sistema internacional es 9.81m/s².
Dividiendo los términos de la derecha entre m e integrando, obtenemos

gt + x'(0) = x'(t),

integrando nuevamente obtenemos la ecuación de caída libre con velocidad y posición inicial:

t²/2 g + t x'(0) + x(0) = x(t). (ec. 1)

Dado que la pelota se deja caer, la velocidad inicial es nula, i.e. x'(0) = 0 y la posición inicial será la altura a la que se deje caer la pelota, i.e x(0) = h, por lo que, la posición de la pelota en cada instante de tiempo está dada por x(t) = t²/2 g+h.
El tiempo que tarda la pelota en tocar el suelo se hace igualando la ecuación anterior a cero, ya que esa será la altura a determinar. Despejando, obtenemos que el tiempo es t₀=√(-2h/g).
La velocidad que la pelota tendrá en cada instante de tiempo se obtiene derivando la posición con respecto al tiempo, esto es, x'(t) = gt. Así la velocidad que tiene la pelota al tocar el suelo es x'(t₀) = √(-2hg).

Supongamos que al momento de que la pelota toca el suelo, la velocidad de rebote es menor que la velocidad con la que llega a éste. Así, la velocidad en el rebote se puede expresar como x'_r = α √(-2hg). Al usar la ecuación (1), el movimiento de la pelota está dada por x(t)=t²/2 g+tx_r(0), que al sustituir es x(t)=t² / 2 g+α t√(-2hg). Nuevamente igualando a cero tenemos que el tiempo en que esto se satisface es t₁=0 y t₁=2α√(-2h/g)=2α t₀.

La velocidad de la pelota en este intervalo es x'(t) = tg + x'(0) y en el instante del nuevo rebote es x'(t_2)=2α√(-2hg) + α √(-2hg).

Siguiendo este procedimiento, tenemos que el tiempo que tarda la pelota en llegar al reposo está dada por

t_∞ = t₀ + 2α t₀ + 2α² t₀ + 2α³ t₀+... = t₀+2t₀∑_n=1^∞αⁿ = (α+1)/(1-α) t₀

siempre que |α| sea menor que la unidad.

Observación: La altura llegará a cero cuando el número de rebotes sea infinito. Invito al lector que obtenga este resultado.
Observación: A pesar de tener un número infinito de rebotes el tiempo que le lleva a la pelota realizar dichos rebotes es finito! Esto se debe a que una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito, en otras palabras, en este caso la sumatoria converge.